1. Le nombre de Reynolds
Pour caractériser le mouvement des fluides, il faut d'abord caractériser le fluide en lui-même. On peut tout d'abord chercher à définir sa viscosité, et plus largement caractériser son écoulement.
Pour cela les chercheurs utilisent un nombre adimensionnel, c'est-à-dire une quantité décrivant un phénomène physique : le nombre de Reynolds (Re).
Il est défini par:
Avec :
υ vitesse caractéristique de l'écoulement étudié
l dimension caractéristique
ν viscosité cinématique
Remarque : La définition la plus connue du nombre de Reynolds est en fait :
Avec :
υ vitesse caractéristique
l dimension caractéristique
ρ densité
η viscosité dynamique
Ce qui revient au même que la précédente définition car :
Avec :
On peut interpréter le nombre de Reynolds comme le rapport de l'énergie et du travail des forces visqueuses (entre autres).
Le nombre de Reynolds est très important dans les équations de Navier-Stokes car les écoulements se comportent de façon très différente selon sa valeur :
→ Pour des Reynolds très faibles, l'écoulement est dominé par les forces visqueuses. On parle d'écoulement de Stokes ou d'écoulement rampant. Visuellement, il est très lent, et on l'imagine difficile à mettre en mouvement et facile à arrêter.
→ Pour des Reynolds de l'ordre de l'unité ou de quelque dizaines, l'écoulement est laminaire (c'est à dire régulier, il ne présente pas trop de variations spatiales ou temporelles), mais aussi légèrement turbulent. Des recirculations apparaissent par exemple en aval des obstacles.
→ Pour des Reynolds supérieurs, on remarque l'apparition de variations temporelles périodiques dans le champ de vitesse.
→ Pour des Reynolds très grands, l'écoulement est complètement déstabilisé dans une zone de l'espace ou dans tout l'espace, et des fluctuations aléatoires apparaissent à plusieurs échelles dans le champ de vitesse principal : c'est la turbulence.
2. Les équations
Pour décrire la mécanique des fluides, il existe des équations appelées équations de Navier-Stokes (du nom de leurs inventeurs).
Ces équations sont très complexes et pour les utiliser on peut admettre l'existence de certaines propriétés des fluides qui simplifient les équations :
- Dans le cas où on néglige la dépendance de la viscosité d'un fluide à la pression qu'on applique, on parle alors de fluide newtonien.
- Dans le cas où la masse volumique du fluide est supposée constante au cours du temps et dans tout l'espace, on parle de fluide incompressible.
- Dans le cas où le nombre de Reynolds est très petit devant 1, on peut alors négliger le terme de transport, rendant ainsi les équations linéaires.
- Dans le cas où le nombre de Reynolds est très grand devant 1 et où l'écoulement est externe, on peut alors négliger l'action des forces visqueuses hors de la couche limite. On parle alors de fluide parfait.
Il existe plusieurs équations de Navier-Stokes (qui dépendent des caractéristiques des fluides que l'on admet).
L'équation de Navier-Stokes que je vais partiellement décomposer ici est admise pour un fluide newtonien et dans l'hypothèse de son incompressibilité.
On cherche ses solutions dans un domaine donné qu’on notera Ω qui appartient au domaine des réels bidimensionnel, (c'est-à-dire Rⁿ (avec n = 2) = {(x;y) ; x ; y Є R}), ou tridimensionnel (c’est-à-dire Rⁿ (avec n = 3) = {(x;y;z) ; x ; y ; z Є R}).
Elle s’énonce:
Avec :
υ échantillon caractéristique du champ de vitesse
t temps
p pression
Re nombre de Reynolds
f action d'une force extérieure sur le fluide
On définit donc l'équation pour :
C'est-à-dire que pour u (x;t) en t=0, u=0 (en t=0, quand l'écoulement n'a pas encore débuté, la vitesse est nulle).
Et dans la contrainte :
Soit div(u)=0
Cette équation explicite la contrainte d'incompressibilité du fluide, c'est à dire la conservation de son volume.
L'équation principale est composée de :
Ce terme correspond à un terme de dissipation (c'est-à-dire une perte d'énergie par frottement des particules), aussi appelé terme visqueux (il inclut le nombre de Reynolds).
La dérivée partielle de la vitesse par rapport au temps traduit l'accélération, et le terme traduit le transport des particules le long de leur trajectoire. Ce terme est donc un terme de transport.
Ce terme est appelé gradient, ici de pression. C'est une grandeur vectorielle indiquant la façon dont une grandeur physique varie dans l'espace.
Et l'addition de ces trois termes est égale à l'action d'une force f extérieure sur le fluide.
